Модули в Joomla можно условно разделить на 3 группы:
Стандартные

К группе стандартных относятся модули, которые идут в стандартной поставке Joomla. Проблема восстановления модулей этой группы объясняется именно тем, что они устанавливаются одновременно с системой, и отдельно их дистрибутив скачать нигде нельзя.
Пользовательские

Это просто текстовые блоки, создаваемые в административной панели Joomla. В принципе они являются как бы виртуальными модулями. При удалении такого модуля данные, размешщенные в нем теряются безвозвратно. Единственный способ восстановить данные это восстановиться из резервной базы данных.
Модули сторонних разработчиков

В эту группу входят модули, созданные сторонними разработчиками расширений. Никаких особых проблем с восстановлением их после удаления возникнуть не должно, потому как всегда есть исходный дистрибутив, и модуль можно без проблем установить повторно.

Итак, для того, чтобы восстановить удаленный модуль, нам необходимо где-то взять его дистрибутив и установить его посредством Менеджера модулей административной панели Joomla. А где взять дистрибутив стандартного модуля? Правильно, сделаем сами! Рассмотрим эту процедуру на примере стандартного модуля mod_mostread (Most Read Content):
Извлекаем из дистрибутива Joomla файлы стандартного модуля mod_mostread:
/modules/mod_mostread.php
/modules/mod_mostread.xml

ПРИМЕЧАНИЕ: В приведенном примере, в состав дистрибутива модуля мы включаем только два файла: непосредственно файл скрипта (mod_mostread.php) и файл описания дистрибутива (mod_mostread.xml). Это обусловлено тем, что на текущий момент времени, все стандартные модули состоят из одного файла скрипта и описания, однако другие модули могут состоять из произвольного количества файлов и включать в дистрибутив изображения, вспомогательные файлы и т.д.
Запаковываем данные файлы модуля в Zip-архив (например, с помощью WinZip).

Все, у нас готов дистрибутив модуля mod_mostread. Теперь мы можем зайти в Менеджер модулей административной панели Joomla и заново его установить.

ПРИМЕЧАНИЕ: при удалении модулей некоторые файлы от них могут остаться в директории /modules и помешать повторной установке, поэтому перед установкой убедитесь, что модуль удален полностью.